ベーカーキャンベルハウスドルフの公式周りの説明
ベーカーキャンベルハウスドルフの補題
最も有名なのはベーカーキャンベルハウスドルフの補題である。
\begin{align}
& e^{A} B e^{-A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \comm{A}{ \cdots \comm{A}{B} } = \qty( \sum_{n=0}^\infty \frac{\hat{A}^n}{n!} ) B = \exp( \hat{A} ) B
\end{align}
ここで$ \hat{A} B := \comm{A}{B} $という記号を定義した。これをベーカーキャンベルハウスドルフの定理と呼ぶ文献も存在する。この公式は以下の関数を用いて証明することができる。
\begin{align}
& f(\beta) := e^{\beta A} B e^{- \beta A}
\end{align}
この関数$f(\beta)$は次の微分の式を満たす。
\begin{align}
& \dv{\beta} f(\beta) = e^{\beta A} \comm{A}{B} e^{- \beta A} = e^{\beta A} \qty( \hat{A} B ) e^{- \beta A} \\
& \dv[n] {\beta} f(\beta) = e^{\beta A} \qty( \hat{A}^n B ) e^{- \beta A}
\end{align}
これを繰り返し用いて$f(\beta)$のテイラー展開を求めることによって求めたい結果を得る。
\begin{align}
& f(\beta) = \sum_{n=0}^\infty \frac{ \beta^n }{n!} \dv[n] {\beta} f(0) = \sum_{n=0}^\infty \frac{ \beta^n }{n!} \hat{A}^n B = \exp( \beta \hat{A} ) B \\
& \to f(1) = e^{A} B e^{-A} = \exp( \hat{A} ) B
\end{align}
この公式の非自明で興味深い例題は
\begin{align}
& e^{A} e^{B} =: e^{C}
\end{align}
となる$C$による計算をする場合である。一般に$C \neq A + B$である。計算すると
\begin{align}
& e^{C} H e^{-C} = e^{A} e^{B} H \qty(e^{A} e^{B})^{-1} = e^{A} e^{B} H e^{-B} e^{-A} = e^{A} \qty( \exp(\hat{B}) H ) e^{-A} = \exp(\hat{A}) \exp(\hat{B}) H
\end{align}
という式が成り立っている。つまり非自明な関係式$ \exp(\hat{C}) = \exp(\hat{A}) \exp(\hat{B}) $が成り立つ。
ベーカーキャンベルハウスドルフの公式1
非可換な演算子同士の計算が何気ない計算を困難にしてしまう。例えば
\begin{align}
& f(\lambda) := e^{ H(\lambda)} \pdv{\lambda} e^{- H(\lambda)}
\end{align}
という量が単純に$ - \pdv{H(\lambda)}{\lambda} $となるのは特別な場合だけである。なぜならば必ずしも$ \pdv{H(\lambda)}{\lambda} $と$H(\lambda)$が可換であるとは限らないためである。以下の量を考える。
\begin{align}
& F(\lambda, \beta) := e^{ \beta H(\lambda)} \pdv{\lambda} e^{- \beta H(\lambda)} \qc F(\lambda, \beta=1 ) = f(\lambda) \qc F(\lambda, \beta = 0 ) = 0
\end{align}
この量の従う微分方程式は以下の通りである。
\begin{align}
& \pdv{\beta} F(\lambda, \beta) = - e^{ \beta H(\lambda)} \pdv{H(\lambda)}{\lambda} e^{- \beta H(\lambda)}
\end{align}
つまりこの両辺を積分することによって求めたい結果を得ることができる。
\begin{align}
& f(\lambda) = - \int_0^1 \dd \beta ~ e^{ \beta H(\lambda)} \pdv{H(\lambda)}{\lambda} e^{- \beta H(\lambda)} = - \int_0^1 \dd \beta ~ \sum_{n=0}^\infty \frac{ \hat{H}^n(\lambda) }{n!} \beta^n \pdv{H(\lambda)}{\lambda} = - \qty( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \hat{H}^n(\lambda) }{ (n+1)! } ) \pdv{H(\lambda)}{\lambda}
\end{align}
この無限級数はとある解析関数$\phi$を用いて表すことが可能である。
\begin{align}
& f(\lambda) := e^{ H(\lambda)} \pdv{\lambda} e^{- H(\lambda)} = - \phi\qty( \hat{H}(\lambda) ) \pdv{H(\lambda)}{\lambda} \\
& \phi(z) := \frac{ e^{z} -1 }{z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{ z^n }{ (n+1)! }
\end{align}
と表すことも可能である。この形にすると色々な"テクニック"が使える。テクニックとは
\begin{align}
& e^{ H(\lambda)} \pdv{\lambda} e^{- H(\lambda)} = - \phi\qty( \hat{H}(\lambda) ) \pdv{H(\lambda)}{\lambda} = K \\
& \to \pdv{H(\lambda)}{\lambda} = - \phi^{-1} \qty(\hat{H}(\lambda)) K \qc \phi^{-1}(z) \phi(z) = 1 \qc \phi^{-1}(z) := \frac{z}{ e^{z} - 1 }
\end{align}
のような変形である。関数系を用いることによって式変形が容易になる。この有用な例題は
\begin{align}
& e^{A} e^{ \lambda B} =: e^{ C(\lambda)}
\end{align}
についての計算である。次の微分方程式が成り立っていることが確認できる。
\begin{align}
& e^{ - C(\lambda)} \pdv{\lambda} e^{ C(\lambda)} = \phi\qty( - \hat{C}(\lambda) ) \pdv{C(\lambda)}{\lambda} \qc (H(\lambda) = - C(\lambda)) \\
& \phi(- \hat{C}(\lambda) ) \pdv{C(\lambda)}{\lambda} = e^{-C(\lambda)} \pdv{\lambda} e^{ C(\lambda)} = e^{ - \lambda B} e^{ - A } e^{ A } e^{ \lambda B } B = B
\end{align}
つまり、先ほどの公式から次の関係が成り立つ。
\begin{align}
& \pdv{C(\lambda)}{\lambda} = \phi^{-1} \qty( - \hat{C}(\lambda)) B \\
& \to C := C(1) = C(0) + \int_0^1 \dd \lambda ~ \phi^{-1} \qty(- \hat{C}(\lambda)) B = A + \int_0^1 \dd \lambda ~ \phi^{-1} \qty(- \ln(\exp(\hat{C}(\lambda)))) B
\end{align}
ここで$ \psi(z) := \phi^{-1}( - \ln z ) = \frac{ z \ln z }{ z - 1 } $を定義すれば$ \exp(\hat{C}(\lambda)) = \exp(\hat{A}) \exp( \lambda \hat{B}) $という公式を用いて
\begin{align}
& C = A + \int_0^1 \dd \lambda ~ \psi \qty( \exp(\hat{A}) \exp( \lambda \hat{B}) ) B \qc \psi(z) := \frac{ z \ln z }{ z - 1 }
\end{align}
という厳密な公式を得ることができる。これがベーカーキャンベルハウスドルフの公式である。
ベーカーキャンベルハウスドルフの公式2
先ほどの式は整理されている反面、積分が含まれることや対称性の悪さがある。ここでは上記の公式とは別の表現を紹介する。この方法は黒木玄さん（の参考にする長谷川浩司さん）によるものを参考にしました。
\begin{align}
& \pdv{H(\lambda)}{\lambda} = - \phi^{-1} \qty(\hat{H}(\lambda)) \qty( e^{ H(\lambda)} \pdv{\lambda} e^{- H(\lambda)} ) \qc \phi^{-1}(z) \phi(z) = 1 \qc \phi^{-1}(z) = \frac{z}{ e^{z} - 1 }
\end{align}
を便利なように$ \hat{H}(\lambda) = \ln \qty( \exp( \hat{H}(\lambda) ) ) $を用いて次の様に書き直す。
\begin{align}
& \pdv{H(\lambda)}{\lambda} = - \chi \qty( \exp( \hat{H}(\lambda) ) ) \qty( e^{ H(\lambda)} \pdv{\lambda} e^{- H(\lambda)} ) \qc \chi(z) := \phi^{-1}(\ln z) = \frac{\ln z}{ z - 1 }
\end{align}
これと$ H(\lambda) \to - H(\lambda) $としたものに、$ A^{-1}(\lambda) \pdv{\lambda} A(\lambda) = - \qty( \pdv{\lambda} A^{-1}(\lambda)) A(\lambda) $を使うと次の公式を得る。
\begin{align}
& \pdv{H(\lambda)}{\lambda} = \chi \qty( \exp( \hat{H}(\lambda) ) ) \qty( \qty(\pdv{\lambda} e^{ H(\lambda)}) e^{- H(\lambda)} ) \\
& \pdv{H(\lambda)}{\lambda} = \chi \qty( \exp( - \hat{H}(\lambda) ) ) \qty( e^{ - H(\lambda)} \qty( \pdv{\lambda} e^{ H(\lambda)} ) )
\end{align}
この公式を$ H(\lambda) := H(t(\lambda),s(\lambda)) := \ln \qty( e^{t(\lambda)A} e^{s(\lambda)B} ) $について計算すると
\begin{align}
& \qty(\pdv{t} e^{ H(t,s)}) e^{- H(t,s)} = A \qc e^{- H(t,s)} \qty(\pdv{s} e^{ H(t,s)}) = B \\
& \dv{H(\lambda)}{\lambda} = \dv{t(\lambda)}{\lambda} \pdv{H(t,s)}{t} + \dv{s(\lambda)}{\lambda} \pdv{H(t,s)}{s} = \dv{t(\lambda)}{\lambda} \chi \qty( \exp( \hat{H}(\lambda) ) ) A + \dv{s(\lambda)}{\lambda} \chi \qty( \exp( - \hat{H}(\lambda) ) ) B
\end{align}
が成り立つ。また交換子の記法については次の関係が成り立つ。
\begin{align}
& \exp( \hat{H}(\lambda) ) = \exp( t(\lambda) \hat{A} ) \exp( s(\lambda) \hat{B} ) \qc \exp( - \hat{H}(\lambda) ) = \exp( - s(\lambda) \hat{B} ) \exp( - t(\lambda) \hat{A} )
\end{align}
以下では$t(\lambda) = s(\lambda) = \lambda$として、以下の新しい関数$Z(x,y|\lambda)$を定義する。
\begin{align}
& \dv{H(\lambda)}{\lambda} = \chi \qty( \exp( \lambda \hat{A} ) \exp( \lambda \hat{B} ) ) A + \chi \qty( \exp( - \lambda \hat{B} ) \exp( - \lambda \hat{A} ) ) B \\
& = Z(\hat{A},\hat{B}|\lambda) A + Z(\hat{B},\hat{A}|-\lambda) B \qc Z(x,y|\lambda) := \chi \qty( \exp( \lambda x ) \exp( \lambda y ) ) = \sum_{m=0}^\infty \lambda^{m} Z_m(x,y)
\end{align}
すると最終的な$H(\lambda=1) =: C $が以下の様にもとまる。
\begin{align}
& C = \sum_{m=0}^\infty \frac{ 1 }{m+1} \qty( Z_m( \hat{A}, \hat{B} ) A + (-1)^{m} Z_m( \hat{B}, \hat{A} ) B ) \\
& Z_m(\hat{A},\hat{B}) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n}}{n+1} \sum_{ {p_i,q_i} \in \mathcal{Z}_m^{\qty(n)} } \frac{ \hat{A}^{p_1} \hat{B}^{q_1} \cdots \hat{A}^{p_{n}} \hat{B}^{q_{n}} }{ p_1 ! q_1 ! \cdots p_{n} ! q_{n} ! } \\
& \mathcal{Z}_m^{\qty(n)} = \qty{ \qty{ p_i, q_i } ~ s.t. ~ \sum_{i=1}^{n} ( p_i + q_i ) = m , ~ \qty(p_i + q_i) > 0 }
\end{align}
